25年暑假学习数模算法时做的一些笔记。

模糊综合评价算法

处理现实的数学模型：

• 确定性数学模型
• 随机性数学模型
• 模糊性模型

模糊集合：与经典集合不同，没有互斥性与确定性

用隶属函数来刻画这个程度：$ \mu _{A} (x) \in[0,1]$，越接近于$1$代表越属于该集合，反之；$\mu _{A}(x)=0.5$时，模糊性最大

模糊集合的表示方法

当论域X为有限集时，记$X={x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}$，则X上的模糊集A有三种表示形式

1. zadeh表示法 $$ A=\sum_{i=1}^{n}\frac{\mu_{A}(i)}{x_{i}}=\frac{\mu_{A}(x_{1})}{x_{1}}+\frac{\mu_{A}(x_{2})}{x_{2}}+...+\frac{\mu_{A}(x_{n})}{x_{n}} $$ 注：“∑”和“+”不是求和的意思，只是概括集合的记号 $\frac{\mu_{A}(i)}{x_{i}}$也不是分数，它表示点$x_{i}$对模糊集A的隶属度是$\mu_{A}(x)$

2. 序偶表示法 $$ A={(x_{1}, \mu_{A}(x_{1})), (x_{2}, \mu_{A}(x_{2})), ..., (x_{n}, \mu_{A}(x_{n}))} $$

3. 向量表示法 $$ A=(\mu_{A}(x_{1}), \mu_{A}(x_{2}), ..., \mu_{A}(x_{n})) $$

$$ 当论域X为无限集时，则X上的模糊集A可以写成A=\int_{x\in X}\frac{\mu_{A}(x)}{x} \ 注：“∫”不是积分的意思，$\frac{\mu_{A}(x_{i})}{x}$也不是分数 $$

模糊集合的分类

• 偏小型
• 中间型
• 偏大型

类别TOPSIS法

可以考虑隶属函数的单调性

隶属函数的确定方法

• 借助已有的客观尺度

  例：衡量家庭小康：恩格尔系数

  如果这个指标不在[0,1]，可以归一化处理

• 指派法：自己选一个看着顺眼的函数

单层次模糊评价模型：step

引入三个集合

在模糊综合评价中，引入三个集合：

① 因素集（评价指标集） $U={u_{1},u_{2},\cdots,u_{n}}$

② 评语集（评价的结果） $V={v_{1},v_{2},\cdots,v_{n}}$

③ 权重集（指标的权重） $A={a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}}$

• 例：评价一名学生的表现

$U={\text{专业排名、课外实践、志愿服务、竞赛成绩}}$

$V={\text{优、良、差}}$

$A={0.4、0.2、0.1、0.3}$

确定模糊综合判断矩阵

对指标$u_i$表说，对各个评语的隶属度为V上的模糊子集，对指标$u_i$的评判记为$R_i=[r_{11},r_{12},...,r_{in}]$

各指标的模糊综合判断矩阵为 $$ &R=\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}&\cdots&r_{1m}\r_{11}&r_{22}&\cdots&r_{2m}\\dots&\dots&\ddots&\dots\r_{n4}&r_{n2}&\cdots&r_{mm}\end{bmatrix} $$

进行矩阵乘法运算

$$ B=A ·R，得到行向量：即该选项对于评语集的隶属度 \ 取隶属度中最大的一个值作为最终评价 $$

Python代码

import numpy as np
R = np.array([[]])
A = np.array([])
B = np.dot(R, a)